Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Điểm cố định của hàm số

Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, bài thi học sinh giỏi toán lớp 9.

Cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua tổng hợp tất cả các kiến ​​thức về cách tính có ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này giúp các em học sinh củng cố, nắm chắc kiến ​​thức nền tảng, vận dụng làm các dạng bài tập cơ bản để đạt kết quả cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Vậy dưới đây là cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

I. Bài toán chứng minh đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định với mọi m

+ Với một giá trị của tham số m ta được đồ thị của hàm số (d_tôi) tương ứng. Như vậy, khi m thay đổi thì đồ thị của hàm số (d_tôi) cũng thay đổi trong hai trường hợp:

– Hay mọi điểm của (d_tôi) di động

– Hoặc có một số điểm của (d_tôi) đứng yên khi m thay đổi

+ Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm bất động của đồ thị hàm số (d_tôi). Đây là những điểm mà đồ thị hàm số đi qua mọi giá trị của m .

+ Đẳng thức ax + b = 0 đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0

II. Ví dụ về bài toán chứng minh đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi họ đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm cố định.

câu trả lời gợi ý

Gọi điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua, rồi tìm giá trị của x₀ và y₀ thỏa mãn.

câu trả lời gợi ý

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Sau đó chúng tôi có:

y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ – m cho mọi m

y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ – m cho mọi m

y₀ – mx₀ – 3x₀ – m = 0 với mọi m

m(-x₀ – 1) + (y₀ – 3x₀) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m họ đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

Bài 2: Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 1. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định đó.

câu trả lời gợi ý

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Sau đó chúng tôi có:

y₀ = (2m – 3)x₀ + m – 1 với mọi m

y₀ = 2mx₀ – 3 lần₀ + m – 1 với mọi m

y₀ – 2mx₀ – 3x₀ + m – 1 = 0 với mọi m

m(-2x₀ + 1) + (y₀ – 3 lần₀ – 1) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m họ đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ

Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m – 1. Tìm tọa độ điểm mà đường thẳng luôn đi qua mọi m

câu trả lời gợi ý

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Sau đó chúng tôi có:

y₀ = mx₀ + 3m – 1 cho mỗi m

y₀ – mx₀ – 3m + 1 = 0 với mọi m

m(-x₀ – 3) + (y₀ + 1) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m họ đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(-3; -1)

Bài 4: Cho hàm số y = (m – 1)x + 2020. Tìm điểm cố định để đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m.

câu trả lời gợi ý

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Sau đó chúng tôi có:

y₀ = (m – 1)x₀ + 2020 cho mỗi m

y₀ – mx₀ – x₀ – 2020 = 0 cho mỗi m

-mx₀ + (y₀ – x₀ – 2020) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m họ đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(0; 2020)